Свастика берет свое начало в столь туманной древности, что если уж рассматривать ее как рисунок некоего алгоритма, то следует ожидать, что это некая универсальная базовая схема для, скажем так, введения в "те численные методы". Лично я подозреваю, как уже и писал об этом, что это вершина айсберга. Продолжу иллюстративный анализ свастики.
Однако прежде чем продемонстрировать очередной иллюстративный пример, сделаю небольшое, на мой взгляд необходимое для понимания расставляемых акцентов отступление. Сейчас теория математического моделирования переживает жутко драматический момент. Впервые за несколько столетий своего развития! Причина - появление мощных компов.
Вплоть до почти конца недавнего прошлого столетия считалось, что любой природный феномен можно, пусть и опуская "несущественные детали" количественно смоделировать с помощью системы обыкновенных диф уравнений или уравнений в частных производных. При этом на фоне самой радужной картины как-то не очень принято было вспоминать о "скелете в шкафу" - весьма и весьма ограниченных возможностях исследования-решения таких систем. В первую очередь физики изящно демонстрировали как, оперируя законами сохранения, можно любое явление описать с помощью соответствующей системы, а затем, опираясь на "физические соображения", обойтись при исследовании выведенной пугающе сложной системы набором ряда простых, получаемых из нее путем вычеркивания "несущественных" уравнений и членов. Такая идиллия характерна и для 18-го и для 19-го и вплоть до середины двадцатого века, пока, наконец, было не обнаружено, что обходиться только линейными членами в разложении функций в ряд далеко не всегда не только просто корректно, но и оправдано в гносеологическом плане. Более того, "вдруг" оказалось, что за малым исключением почти вся физика - нелинейна. При таком повороте событий "скелет в шкафу" начал уже вполне слышимо позвякивать своими костями. Дело в том, что сколько-нибудь общей методологии аналитического решения за редким исключением специальных задач (таких, например как, поддающихся исследованию при помощи групп Ли) для нелинейных задач нет, да и не предвидится в ближайшем будущем. Развитие интереса к нелинейным задачам совпало с развитием вычислительной техники. Но сам по себе факт появления мощных компов способствовал возникновению и принципиально новых - дискретных моделей. Напомню, что сеточной называется "функция", которая представляется своими значениями на узлах некоторой сетки, на которую разбита какая-то плоская или пространственная геометрическая фигура. Фактически это таблица чисел, каждому из которых соотнесена некоторая точка плоскости или пространства. Никаких других функций комп не понимает. Вначале на эти сеточные функции смотрели как на "жалкое подобие настоящих". Для них специальным образом переписывали дифференциальные операторы как "дифференциально-разностные" и разрабатывали способы решения соответствующих систем с тем, чтобы полученное решение - сеточная функция была "близка к настоящей". И тут сразу же было обнаружено, что алгоритмы по вычислениям с сеточными функциями должны удовлетворять некоторым законам сохранения уже специально для сеточных функций (консервативные разностные схемы). Но дальше и произошли те события, которые и привели к тому кризису, о котором я сказал вначале. Сеточная функция оказалась не "жалким подобием настоящей" (множеством меры нуль, как ее обозвал бы "чистый математик"), а прямо таки сказочным джином. Графы, фракталы, перколяция,… - чудовища, порождаемые ими, совсем и не стремятся улечься в прокрустово ложе дифференциально-интегрального исчисления… Возникла целая ветвь математики, которую уже преподают в высшей школе - "дискретная математика". Так в чем же "жутко драматический момент"? А в том, что вплоть до настоящего времени проведена совершенно четкая граница между этой самой дискретной математикой и континуальной. И эта граница разводит публику по двум как это не парадоксально антагонистическим лагерям. Есть, например, публика, которая норовит облачиться в тогу гения и свысока вещает в инете о том, что дескать "у фрахталах и есть сермяжная правда жизни". В то время как сериозные вученые презрительно смотрят на ентих прохиндеев и совершенно спокойны. Они знают, что вся серьезная наука, основанная на законах сохранения, написана на языке дифференциально-интегрального анализа - на языке "настоящих функций". Правда свои задачи они решают с помощью сеточных "недофункций", ну дык этож "математическая техника". Сюда же следует отнести философские споры о непрерывности или дискретности времени и т.д. Ситуация очень напоминает ту, о которой мне как то рассказали во время учебы на военной кафедре в университете. В одно из подразделений НАТО (ясное дело не у нашем районе) привезли на пробу ботинки покрытые специальным покрытием скрывающим тепловое излучение для приборов ночного видения от топающих солдатских ног. Усе делалось у страшной тайне. Поэтому проверка на практике сего нововведения и провалилась. Ничего не ведающие сержанты приказали солдатам натереть ваксой ботинки "не совсем естественного цвета". Похоже, что сейчас для некоторых вопросов дифференциально-интегральный мат аппарат и выступает в роли таких сержантов…
Кто-нибудь видел физическую теорию, скажем классическую Ньютоновскую физику, излагаемую на языке сеточных функций. Я нет. Причем написание такого курса наталкивается на весьма принципиальные препятствия. Все дело в том, что даже обычную одномерную производную для сеточных функций можно определить принципиально различными способами. Я уж не говорю о производных второго и более высокого порядка. Также как и интеграл. Причем выбор из всего этого многообразия делает для всякой конкретной задачи ни кто иной, как математик-вычислитель…
Мне представляется, что будущее как раз в уничтожении этой самой границы. Видимо должен возникнуть новый подход к теориям естественных наук, опирающийся по преимуществу на законы природы выписанные на языке сеточных функций. Бесспорно останется и язык дифференциально-интегрального анализа, но он займет куда более скромную, чем сейчас нишу.
Начинаем приближаться, собственно, к свастике. Свойства сеточных функций - это основа их классификации, а затем использования. Также как и для "настоящих" (например, непрерывность, дифференцируемость). Нарисуем свастику на некоторой квадратной сеточке, так, чтобы все восемь составляющих ее отрезков своими концами совпадали с узлами сетки. Выкинем из рассмотрения тот узел в котором пересекаются две сплошные ветви свастики. Теперь сложим значения сеточной функции (над выбранной сеткой) во всех оставшихся узлах над каждой из сплошных ветвей свастики и потребуем чтобы эти суммы были равны. Знаете, что мы получили? Конечно-разностный аналог известного (строго доказываемого) свойства для "настоящих" функций:
d^2f/dxdy =d^2f/dydx.
Причем, в том самом изъятом нами узле-перекрестие свастики. Показ, что это действительно один из вполне допустимых вариантов с позиции современной теории разностных схем осуществляется непосредственно при помощи (!) вписания в правостороннюю левосторонней свастики и наоборот.
Это доказываемое свойства для "настоящих" функций в дифференциально-интегральном анализе столь фундаментально, что его воспринимают как само собой разумеющееся. Более того - убери его и рухнет громаднейшая часть теорий… Для сеток оно не только может и просто не выполняться, но и сразу выплывает нюанс - свастики есть левосторонние и правосторонние и, значит можно ввести левосторонние и правосторонние сеточные функции.
Если тут что-то от "богов"? Конечно вопрос риторический. Обращает на себя внимание лишь один факт - такого сорта свойствами сеток скорей всего и должен оперировать будущий "анализ сеточных функций"….
|